Bài 1:   Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó Dựng hình vuông ABDE thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O). Gọi Klà giao điểm của CFvà ED.

1. Chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đường tròn
2. Tam giác BKC là tam giác gì ?  Vì sao?

Bài 2:   Cho tam giác nhọn ABC  nội tiếp đường tròn tâm O. H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.

a, Xác định vị trí của điểm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.

b, Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.

c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.

Bài 3:   Cho đ­ường tròn (O) đ­ờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đường tròn  . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đ­ờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q, tia AM cắt BC tại N.

a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân.

b) Khi MB = MQ, tính BC theo R.

Bài 4:   Cho đường tròn tâm O đường kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD.

            a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung điểm của MN.

       b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi.

       c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định.                                         

Bài 5:   Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D.

a.Chứng minh : AC.BD = R².

b.Tìm vị trí của điểm M để diện tích tam giác COD là nhỏ nhất .

Bài 6:   Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC.

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.                      

Bài 7:   Cho tam giác cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B). Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp . Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K .

a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.

b) Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?

Bài 8:   Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Một góc ÐxOy = 45⁰ cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E.

         Chứng minh rằng:

         a) DE là tiếp tuyến của đường tròn ( O ).

         b)                             

Bài 9:   Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q.

a)      Chứng minh DM.AI= MP.IB

b)      Tính tỉ số :

Bài 10:   Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm N di động trên một nửa đường tròn sao cho cung NA < cung NB Vẽ vào trong đường tròn hình vuông ANMP.

            a) Chứng minh rằng đường thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q.

         b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác NAB. Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp.

         c) Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 11:   Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D thuộc BC) vẽ đường tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh

a) EF // BC

b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng.

c) AE.AC = AF.AB = AD²

Bài 12:   Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 45⁰. Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đường chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo BD tại Q.

a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đường tròn.

b/ Chứng minh rằng: 

c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết MD=CM.