Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học cơ sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó.

Bài toán xuất phát:

Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a³ +b³  ab(a+b).  (*)

Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với :

     (a+b)(a² –ab+b²) – ab(a+b) 0

   (a+b)(a² -2ab +b²) 0

   (a+b)(a-b)² 0 đúng với mọi a,b dương.

Đẳng thức xảy ra khi a = b.

Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác:

Với a,b dương ta vẫn có thể biến đổi (*) thành : ab

   a² – ab + b² ab

      ( a - b)²    0 (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

       Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không có gì mới lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập này. GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng:

Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm. Nếu a,b là các số dương thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng thức khác?

Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng  thức:

  + b² a(a+b) ( do b>0)

  + b² a² + ab

Tương tự với a,b,c dương thì :

       + c² b² + bc

       + a² c² + ac

Từ đó ta có bài toán hay:

Bài 2: Với 3 số a,b,c dương chứng minh rằng :

         ++ ab +bc+ca

  Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật của bất đẳng thức CôSi thì rất khó.

Học sinh có thể thử bằng cách như sau:  + b² 2a dấu “=” xảy ra khi a = b

Tương tự  + c² 2b

               + a² 2c

Với cách thử này giáo viên sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khác:

               ++ 2a+2b+2c- (a²+b²+c²)

Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi:

Hai bất đẳng thức ++ ab +bc+ca

                      và ++ 2a+2b +2c- (a²+b²+c²) thì bất đẳng thức nào chặt hơn?

Cách làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ nhận thấy ab +bc+ca 2a+2b+2c- (a²+b²+c²)

    GV yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh.

    Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số dương, ta có hướng biến đổi khác:

Từ a³ +b³ ab(a+b) (*) suy ra: a+b

 tương tự   c+b

                a+c      Với a,b,c là các số dương.

Từ đó ta có bài toán:

Bài 3: Với a,b,c dương chứng minh rằng:

 Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều cách nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi:

  =2
Tương tự ta có   2

 Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức

2(a+b+c)

  2

thì bất đẳng thức nào chặt hơn?

Yêu cầu này đơn giản hơn vì hầu  hết học sinh đều quen thuộc với bất đẳng thức:

  (a, b là các số dương)

Như vậy bất đẳng thức: 

  hay hơn bất đẳng thức trong bài tập 3.

Ta có bài tập sau:

Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

  GV nhắc nhở học sinh luôn có ý thức tự đặt câu hỏi. Ví dụ: “hai vế bất đẳng thức a³ +b³ ab(a+b)(*) có gì quen thuộc?”. “Biến đổi như thế nào để có lập phương của một tổng?”.

Khi đó HS biến đổi (*)  3(a³ +b³) 3ab(a+b)

                                    4(a³ +b³) a³ + b³+ 3ab(a+b).

                                     4(a³ +b³)   (a+b)³.

Từ đó ta đề xuất được bài toán mới:

Bài 5: Với a,b,c dương chứng minh rằng:

           8(a³ +b³ +c³ )   (a+b)³ +(c+b)³ +(a+c)³

     Bài tập này học sinh có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương, hoặc sử dụng phương pháp tách để chứng minh.

  Ta đã có:    4(a³ +b³)   (a+b)³

   Tương tự:  4(b³ +c³)   (b+c)³

                     4(a³ +c³)   (a+c)³

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải chứng minh.

Ta áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương của vế phải bài 5 thì được điều gì?

(a+b)³ (2)³ =

                            (b+c)³ 8

                             (a+c)³

Khi đó tự học sinh sẽ thấy bài toán mới đẹp hơn bài 5.

Bài 6: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

            a³ +b³ +c³   ab+bc+ac

Bài toán sẽ trở nên khó hơn nếu bổ xung thêm giả thiết abc = 1.Khi đó:   

      ; ;

Như vậy học sinh đã tạo ra được bài toán mới hay hơn bài 6.

  Bài 7: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 

     Kĩ năng tách các hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để chứng minh bất đẳng thức. GV biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra được một số bài tập cho HS rèn luyện kĩ năng này.

Bài 8: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

          2(a³ +b³ +c³) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lượt cặp số a,b,c ta có:

               a³ +b³   ab(a+b)

               b³ +c³   bc(b+c)

               a³ +c³   ca(c+a)

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

          2(a³ +b³ +c³)   ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

     Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức CôSi cho đôi một các số dương a,b,c thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c

   Ta có         a + b  2 ;     b + c  2     và    c + a  2

Khi đó ta có một bài toán mới:

Bài 9: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

                       a³ +b³ +c³ ab + bc + ac

      GV đưa bài tập này ra không bình luận gì thêm. Nếu học sinh nào làm theo hướng làm của bài tập 8 thì thật máy móc. Bài tập đơn giản như vậy mà phải áp dụng cả bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức CôSi.

Dùng kĩ thuật tách hạng tử và bất đẳng thức CôSi là đủ. Khi đó lời giải sẽ rất gọn gàng và thể hiện được tính sáng tạo của học sinh.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương ta có:

               a³ +b³ 2ab

               b³ +c³ 2bc

               a³ +c³ 2 ac

Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều trên ta được:

              a³ +b³ +c³  ab + bc + ac

             Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Nếu học sinh biến đổi  bất đẳng thức a³ +b³  ab(a+b)(*) theo hướng sau:

       => a³ +b³ +abc  ab(a+b) +abc

       => a³+ b³ +abc  ab(a+b+c)

       =>

Tương tự ta có:

Suy ra: 

+ +

+ +

+ +   

Ta có bài toán sau:

Bài 10: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng :

+ +   

     Đây là một bài toán khó nếu học sinh lần đầu gặp thì không biết sẽ bắt đầu từ đâu. Tuy nhiên bài toán này có trong hầu hết các quyển sách viết về bất đẳng thức. Các lời giải đều gọn gàng nhưng không tự nhiên. Sự hướng dẫn của Giáo viên sẽ giúp cho học sinh thấy tự  nhiên hơn và thấy bài toán “đơn giản” hơn.                

Đặc biệt hoá bài toán này trong trường hợp abc = 1. Ta có bài toán mới (bài thi vào trường Đại học Thuỷ Lợi năm học 1999)

Bài 11: Cho a,b,c dương và abc = 1. Chứng minh rằng:

Lời giải bài toán này giống như bài 8, khi sử dụng kết quả bài toán này ta sẽ chứng minh được bài toán sau đây:

Bài 12: Cho a,b,c là các số dương và abc = 1. Chứng minh rằng:

 Ta sẽ chứng minh cho

++ 1
bằng cách chứng minh:

 
  Thật vậy:

               a⁵ +b⁵ +ab ab( a³ +b³ +1)

               a⁵ +b⁵  ab( a³ +b³ )

               a⁵ +b⁵  ba⁴ +ab⁴

             (a-b)(a⁴ –b⁴) 0

             (a-b)(a²-b²)(a²+b²) 0

             (a-b)²(a²+b²)(a+b) 0 đúng. Dấu “=” xảy ra khi a=b

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Xét ví dụ sau: Cmr :  .Đẳng thức xảy ra khi

Đây là một ví dụ đơn giản về bất đẳng thức,lẽ đó nên ít học sinh qua tâm đến việc khai thác bài toán này.Nhưng nếu giáo viên hướng dẫn học sinh biết cách nhận xét đặc điểm của các yếu tố trong bài toán thì có thể tìm được nhiều kết quả mới (đối với học sinh).Chẳng hạn nhìn vào biểu thức hai vế của bất đẳng thức ta có liên tưởng đến điều gì hay không?Có đó là hằng đẳng thức ,để tạo ra hằng đẳng thức ở vế trái ta cộng vào hai vế một lượng ta có để tạo ra hằng đẳng thức ở vế phải ta cộng hai vế một lượng ta có : .Từ phân tích trên ta có bài toán sau

Bài toán 1:Cmr mọi a,b ta luôn có:      (1) 

Đây là một bất đẳng thức đẹp ,nói lên mối liên hệ giữa tổng bình phương ,bình phương của tổng và tích của hai số. Từ (1) ta có các hệ quả sau

.

đẳng thức ở (2), (3), (4) xảy ra khi . Từ 4 bất đẳng thức trên nếu ta thay đổi  a,b bằng những biểu thức khác nhau ta sẽ thu được nhiều bài toán hay sau đây là một số ví dụ

Thay ta có :

Bài toán 2: Cho thoả mãn: . Cmr:  

Thay ta có:

Bài toán 3:Cmr:             

Thay      và sử dụng kết quả bài 3 ta có:

Bài toán 4: Cho là góc nhọn .Tìm gtln của biểu thức:        

Thay thêm điều kiện ta có:

Bài toán 5:  Cho thỏa mãn CMR:    

Thay Nhắn tin cho tác giả