Giải

Bài này dùng Nguyên tắc Diricle:

Nguyên tắc Dirichlet được phát biểu một cách phổ thông như sau : “Nếu nhốt m con thỏ vào n chuồng (m > n) thì phải có ít nhất là một chuồng chứa từ hai con trở lên”.

            Việc chứng minh nguyên tắc này rất đơn giản (bằng phương pháp phản chứng). Tuy nhiên đây lại là một phương pháp rất có hiệu quả để giải nhiều bài toán Hình học phức tạp.

            Nguyên tắc Dirichlet cho chúng ta một kiểu chứng minh không kiến thiết, tức là chúng ta không thể nói chắc chắn được rằng hai con thỏ được nhốt chung vào một cái chuồng cụ thể nào mà chỉ cần biết là chắc chắn phải có một chuồng như vậy. Việc vận dụng nguyên tắc Dirichlet vào giải toán còn giúp học sinh bước đầu làm quen với khái niệm đẳng cấu trong toán học.

            Để áp dụng nguyên tắc Dirichlet cần phải làm xuất hiện tình huống nhốt thỏ vào chuồng thỏa mãn điều kiện :

a)      Số thỏ nhiều hơn số chuồng.

b)      Thỏ phải được nhốt hết vào chuồng, nhưng không bắt buộc là chuồng nào cũng phải có thỏ.

Sau đây là các bài toán ví dụ :

II. CÁC VÍ DỤ :

1. VÍ DỤ 1 : Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh là 4 cho trước 33 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng  , có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính là 3 điểm đó ?

Hướng dẫn giải :

            Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh là 1; vì có 33 điểm chứa trong 16 hình vuông, do đó theo nguyên tắc Dirichlet ắt phải có một hình vuông chứa không ít hơn 3 điểm..

            Khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong hình vuông đơn vị đã cho không thể vượt qua độ dài đường chéo của nó bằng . Gọi O₁ , O₂ , O₃ là 3 điểm cùng nằm trong một hình vuông đơn vị nào đó. Vẽ 3 đường tròn tâm O₁ , O₂ , O₃ cùng bán kính là . Chắc chắn cả 3 điểm O₁ , O₂ , O₃ đều nằm trong cả 3 đường tròn này, nghĩa là chúng nằm trong phần chung của 3 hình tròn có tâm tại chính các điểm O₁ , O₂ , O₃.

2. VÍ DỤ 2 : Trên mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng: tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm.

Hướng dẫn giải :

Xét điểm A và hình tròn (C₁) có tâm A và bán kính là 1. Nếu tất cả 24 điểm còn lại đều nằm trong (C₁) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh.

            Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (C₁). Ta có AB > 1. Xét hình tròn (C₂) có tâm B và bán kính là 1. Giả sử C là một điểm bất kì khác A và B. Ta chứng minh C phải thuộc một trong 2 hình tròn (C₁) hoặc (C_2­).

            Thật vậy : giả sử ngược lại điểm C không thuộc cả (C₁) và (C₂), từ đó suy ra : AC > 1 và BC > 1. Mà theo trên  AB > 1, như vậy có bộ 3 điểm A, B, C trong đó không có bất kì 2 điểm nào có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Vô lí, vì trái với giả thiết.

Điều vô lí đó chứng tỏ rằng hoặc C thuộc vào (C₁) hoặc C thuộc vào (C₂).

Như vậy cả 25 điểm đã cho đều thuộc vào (C₁) và (C₂).

Theo nguyên tắc Dirichlet, ắt phải có ít nhất một hình tròn chưa không ít hơn 13 điểm.

VÍ DỤ 3 : Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng phân biệt thỏa mãn : mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành 2 tứ giác có diện tích tỉ lệ với 2 và 3. Chứng minh rằng : tồn tại ít nhất là 3 đường thẳng đồng qui tại một điểm